Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теорему о площади треугольника.
Теорема 1
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
Формула Герона
Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.
Теорема 2
Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
где $p$ - полупериметр данного треугольника.
Доказательство.
Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.
Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$
Рассмотрим треугольник $\ CBH$. По теореме Пифагора, получим
\ \ \
Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений
\ \ \
Из первого равенства найдем высоту
\ \ \ \ \ \
Так как полупериметр равен $p=\frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то
\ \ \ \
По теореме 1, получим
Теорема доказана.
Примеры задач на использование формулы Герона
Пример 1
Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.
Решение.
Найдем вначале полупериметр этого треугольника
По теореме 2, получим
Ответ: $4\sqrt{5}$.
Теорема . Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:
Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС (рис. 1.15) достроим до параллелограмма ABDC . Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC , т. е.
Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС (рис. 1.16):
И, следовательно,
Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции. А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.
Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.
Следствие 1 . Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.
На рис. 1.17 треугольники АВС и АВD имеют общее основание АВ и равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямая а , которая содержит вершины С и D параллельна основанию АВ , а поэтому площади этих треугольников равны.
Следствие 1 можно переформулировать следующим образом.
Следствие 1? . Пусть дан отрезок АВ . Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S , есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии (рис. 1. 18)
Следствие 2 . Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз.
На рис. 1.19 треугольники АВС и ABD имеют общую высоту ВH , поэтому отношение их площадей равно отношению оснований
Из следствия 2 следуют важные частные случаи:
1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.
2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b , делит его на два треугольника, площади которых относятся как a : b .
Следствие 3 . Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Это следует из того, что (рис. 1.19)
В частности, имеет место следующее утверждение:
Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k 2 раз больше площади второго.
Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:
где a, b, c - длины сторон треугольника, г - угол, противолежащий стороне с.
Из (1.3) находим.
Замечая, что
где - полупериметр треугольника, получаем.
Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека.
Ирландский драматург Бернард Шоу
Формула Герона
В школьной математике весьма популярной является формула Герона, применение которой позволяет вычислять площадь треугольника по трем его сторонам. В тоже время мало кто из учеников знает, что существует аналогичная формула для вычисления площади четырехугольников, вписанных в окружность. Такая формула называется формулой Брахмагупты. Также является малоизвестной формула для вычисления площади треугольника по трем его высотам, вывод которой следует из формулы Герона.
Вычисление площади треугольников
Пусть в треугольнике стороны , и . Тогда справедлива следующая теорема (формула Герона).
Теорема 1.
где .
Доказательство. При выводе формулы (1) будем использовать известные геометрические формулы
, (2)
. (3)
Из формул (2) и (3) получаем и . Так как , то
. (4)
Если обозначить , то из равенства (4) вытекает формула (1). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь вопрос о вычислении площади треугольника при условии , что известны три ее высоты , и .
Теорема 2. Площадь вычисляется по формуле
. (5)
Доказательство. Так как , и , то
В таком случае из формулы (1) получаем
или
Отсюда вытекает формула (5). Теорема доказана.
Вычисление площади четырехугольников
Рассмотрим обобщение формулы Герона на случай вычисления площади четырехугольников. Однако сразу же необходимо отметить, что такое обобщение возможно только для четырехугольников, которые вписаны в окружность.
Пусть четырехугольник имеет стороны , , и .
Если является четырехугольником , вписанным в окружность , то справедлива теорема 3 (формула Брахмагупты).
Теорема 3. Площадь вычисляется по формуле
где .
Доказательство. В четырехугольнике проведем диагональ и получим два треугольника и . Если к данным треугольникам применить теорему косинусов, которая равносильна формуле (3), то можно записать
Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна , т.е. .
Поскольку или , то из (7) получаем
Или
. (8)
Так как , то . Однако и , поэтому
Поскольку , то из формул (8) и (9) следует
Если положить , то отсюда получаем формулу (6). Теорема доказана.
Если вписанный четырехугольник является одновременно и описанным , то формула (6) значительно упрощается.
Теорема 4. Площадь четырехугольника , вписанного в одну окружность и описанного вокруг другой, вычисляется по формуле
. (10)
Доказательство. Так как в четырехугольник вписана окружность, то выполняются равенства
В таком случае , , , и формула (6) легко преобразуется в формулу (10). Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению примеров задач геометрии , решение которых осуществляется на основе применения доказанных теорем.
Примеры решения задач
Пример 1 . Найти площадь , если , и .
Решение. Так как здесь , то согласно теореме 1 получаем
Ответ: .
Отметим , если стороны треугольника принимают иррациональные значения , то вычисление его площади посредством использования формулы (1) , как правило , является неэффективным. В таком случае целесообразно применять непосредственно формулы (2) и (3).
Пример 2. Найти площадь , если , и .
Решение. Принимая во внимание формулы (2) и (3), получаем
Так как , то или .
Ответ: .
Пример 3. Найти площадь , если , и .
Решение. Поскольку ,
то из теоремы 2 следует, что .
Ответ: .
Пример 4. Треугольник имеет стороны , и . Найти и , где радиусы описанной и вписанной окружностей, соответственно.
Решение. Первоначально вычислим площадь . Так как , то из формулы (1) получаем .
Известно , что и . Поэтому и .
Пример 5. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, если , , и .
Решение. Из условия примера следует, что . Тогда, согласно теореме 3, получаем .
Пример 6. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, стороны которого , , и .
Решение. Так как и , то в четырехугольнике выполняется равенство . Однако известно, что существование такого равенства является необходимым и достаточным условием того, что в данный четырехугольник можно вписать окружность. В этой связи для вычисления площади можно использовать формулу (10), из которой следует .
Для самостоятельной и качественной подготовки к вступительным испытаниям в области решения задач школьной геометрии можно эффективно использовать учебные пособия , приведенные в списке рекомендованной литературы.
1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996. – 240 с.
2. Кулагин Е.Д. , Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2009. – 208 с.
3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Эта формула позволяет вычислить площадь треугольника по его сторонам а, b и с:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),
где р - полупериметр треугольника, т.е. р = (а + b + с)/2.
Формула названа в честь древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Герон рассматривал треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми числами. Такие треугольники называют героновыми. Например, это треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53.
Существуют аналоги формулы Герона для четырехугольников. В связи с тем, что задача на построение четырехугольника по его сторонам а, Ь, с и d имеет не единственное решение, для вычисления в общем случае площади четырехугольника недостаточно только знания длин сторон. Приходится вводить дополнительные параметры или накладывать ограничения. Например, площадь вписанного четырехугольника находится по формуле: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)
Если же четырехугольник и вписанный, и описанный одновременно, его площадь находится
по более простой формуле: S=√(abcd)
.
Герон Александрийский - греческий математик и механик.
Он первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него верёвкой).
Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака. Многие из его книг безвозвратно утеряны (свитки содержались в Александрийской библиотеке).
В трактате «Механика» Герон описал пять типов простейших машин: рычаг, ворот, клин, винт и блок.
В трактате «Пневматика» Герон описал различные сифоны, хитроумно устроенные сосуды, автоматы, приводимые в движение сжатым воздухом или паром. Это эолипил, представлявший собой первую паровую турбину - шар, вращаемый силой струй водяного пара; автомат для открывания дверей, автомат для продажи «святой» воды, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток.
В книге «О диоптре» описан диоптр - простейший прибор, применявшийся для геодезических работ. Герон излагает в своём трактате правила земельной съёмки, основанные на использовании прямоугольных координат.
В «Катоптрике» Герон обосновывает прямолинейность световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. Герон рассматривает различные типы зеркал, особое внимание уделяя цилиндрическим зеркалам.
«Метрика» Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений:
Формулы для площадей правильных многоугольников.
Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента.
Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом).
Правила численного решения квадратных уравнений.
Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней.
Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений, по большей части совпадающих с определениями «Начал» Евклида.
Предварительные сведения
Для начала введем сведения и обозначения, которые будут необходимы нам в дальнейшем.
Будем рассматривать треугольник $ABC$ с острыми углами $A$ и $C$. Проведем в нем высоту $BH$. Введем следующие обозначения: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(рис. 1).
Рисунок 1.
Введем без доказательств теорему о площади треугольника.
Теорема 1
Площадь треугольника определяется как половина произведения длины его стороны, на высоту, проведенную к ней, то есть
Формула Герона
Введем и докажем теорему о нахождении площади треугольника по трем известным сторонам. Эта формула носит название формулы Герона.
Теорема 2
Пусть нам даны три стороны треугольника $a,\ b\ и\ c$. Тогда площадь этого треугольника выражается следующим образом
где $p$ - полупериметр данного треугольника.
Доказательство.
Будем пользоваться обозначениями, введенными на рисунке 1.
Рассмотрим треугольник $ABH$. По теореме Пифагора, получим
Очевидно, что $HC=AC-AH=b-x$
Рассмотрим треугольник $\ CBH$. По теореме Пифагора, получим
\ \ \
Приравняем значения квадрата высоты из двух полученных соотношений
\ \ \
Из первого равенства найдем высоту
\ \ \ \ \ \
Так как полупериметр равен $p=\frac{a+b+c}{2}$, то есть $a+b+c=2p$, то
\ \ \ \
По теореме 1, получим
Теорема доказана.
Примеры задач на использование формулы Герона
Пример 1
Найти площадь треугольника, если его стороны равняются $3$ см, $6$ см и $7$ см.
Решение.
Найдем вначале полупериметр этого треугольника
По теореме 2, получим
Ответ: $4\sqrt{5}$.
