В заключение мы попытаемся в кратких чертах охарактеризовать общие закономерности развития математики.

1. Математика не есть создание какой-либо одной исторической эпохи, какого-либо одного народа; она есть продукт ряда эпох, продукт работы многих поколений. Ее первые понятия и положения возникли,

как мы видели, в глубокой древности и уже более двух тысяч лет назад были приведены в стройную систему. Несмотря на все преобразования математики, ее понятия и выводы сохраняются, переходя из одной эпохи к другой, как, например, правила арифметики или теорема Пифагора.

Новые теории включают в себя предшествующие достижения, уточняя, дополняя и обобщая их.

В то же время, как ясно из данного выше краткого очерка истории математики, ее развитие не только не сводится к простому накоплению новых теорем, но включает существенные, качественные изменения. Соответственно, развитие математики разделяется на ряд периодов, переходы между которыми как раз и обозначены такими коренными изменениями в самом предмете или структуре этой науки.

Математика включает в свою сферу все новые области количественных отношений действительности. В то же время важнейшим предметом математики были и остаются пространственные формы и количественные отношения в простом, наиболее непосредственном смысле этих слов, и математическое осмысление новых связей и отношений неминуемо происходит на основе и в связи с уже сложившейся системой количественных и пространственных научных представлений.

Наконец, накопление результатов внутри самой математики необходимо влечет как восхождение к новым ступеням абстракции, к новым обобщающим понятиям, так и углубление в анализ основ и первоначальных понятий.

Как дуб в своем могучем росте утолщает Старые ветви новыми слоями, выбрасывает новые ветви, тянется вверх и углубляется корнями вниз, так и математика в своем развитии накапливает новый материал в уже сложившихся своих областях, образует новые направления, восходит к новым вершинам абстракции и углубляется в своих основах.

2. Математика имеет своим предметом реальные формы и отношения действительности, но, как говорил Энгельс, чтобы изучить эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное. Однако форм и отношений вне содержания не существует, математические формы и отношения не могут быть абсолютно безразличными к содержанию. Стало быть, математика, по самой своей сущности стремящаяся осуществить такое отделение, стремится осуществить невозможное. Это и есть коренное противоречие в самой сущности математики. Оно является специфическим для математики проявлением общего противоречия познания. Отображение мыслью всякого явления, всякой стороны, всякого момента действительности огрубляет, упрощает его, выхватывая его из общей связи природы. Когда люди, изучая свойства пространства, установили, что оно имеет эвклидову геометрию, был совершен исключительно

важный акт познания, но в нем же заключалось заблуждение: реальные свойства пространства были [взяты упрощенно, схематично, в отвлечении от материи. Но без этого просто не было бы геометрии, и именно на почве этого отвлечения (как из внутреннего его исследования, так и из сопоставления математических результатов с новыми данными других наук) зарождались и укреплялись новые геометрические теории.

Постоянное разрешение и восстановление указанного противоречия на все более приближающихся к действительности ступенях познания и составляет сущность развития познания. При этом определяющим является, конечно, положительное содержание познания, элемент абсолютной истины в нем. Познание идет по восходящей линии, а не топчется на месте в простом смешении с заблуждением. Движение познания есть постоянное преодоление его неточности и ограниченности.

Указанное основное противоречие влечет за собой другие. Мы видели это на примере противоположностей дискретного и непрерывного. (В природе между ними нет абсолютного разрыва, и их разделение в математике неизбежно влекло необходимость создания все новых понятий, глубже отражающих действительность и одновременно преодолевающих внутренние несовершенства существующей математической теории). Совершенно так же противоречия конечного и бесконечного, абстрактного и конкретного, формы и содержания и др. выступают в математике как проявления ее коренного противоречия. Но решающее его проявление состоит в том, что, отвлекаясь от конкретного, вращаясь в кругу своих абстрактных понятий, математика тем самым отделяется от эксперимента и практики, а вместе с тем она лишь постольку является наукой (т. е. имеет познавательную ценность), поскольку опирается на практику, поскольку оказывается не чистой, а прикладной математикой. Говоря несколько гегелевским языком, чистая математика постоянно «отрицает» себя как чистую математику, без этого она не может иметь научного значения, не может развиваться, не может преодолевать неминуемо возникающие внутри нее трудности.

В своем формальном виде математические теории противостоят реальному содержанию как некоторые схемы для конкретных выводов. Математика выступает при этом как метод формулировки количественных законов естествознания, как аппарат для разработки его теорий, как средство решения задач естествознания и техники. Значение чистой математики на современном этапе заключено прежде всего в математическом методе. И как всякий метод существует и развивается не сам по себе, а только на основе своих применений, в связи с содержанием, к которому он применяется, так и математика не может существовать и развиваться без применений. Здесь опять обнаруживается единство противоположностей: общий метод противостоит конкретной задаче, как средство ее решения, но он сам возникает из обобщения конкретного материала и существует

развивается и находит свое оправдание только в решении конкретных задач.

3. Общественная практика играет определяющую роль в развитии математики в трех отношениях. Она ставит перед математикой новые проблемы, стимулирует ее развитие в том или ином направлении и дает критерий истинности ее выводов.

Это чрезвычайно ясно видно на примере возникновения анализа. Во-первых, именно развитие механики и техники выдвинуло проблему изучения зависимостей переменных величин в их общем виде. Архимед, подойдя вплотную к дифференциальному и интегральному исчислению, оставался, однако, в рамках задач статики, тогда как в новое время имен но исследование движения породило понятия переменной и функции и понудило к оформлению анализа. Ньютон не мог развить механику, не развивая соответствующего математического метода.

Во-вторых, именно потребности общественного производства побуждали к постановке и решению всех этих проблем. Ни в античном, ни в средневековом обществе этих стимулов еще не было. Наконец, весьма характерно, что математический анализ в своем возникновении находил обоснование своих выводов именно в приложениях. Только поэтому он и мог развиваться без тех строгих определений его основных понятий (переменная, функция, предел), которые были даны позже. Истинность анализа устанавливалась применениями в механике, физике и технике.

Сказанное относится ко всем периодам развития математики. Начиная с XVII в. наиболее непосредственное влияние на ее развитие оказывают вместе с механикой теоретическая физика и проблемы новой техники. Механика сплошной среды, а потом теория поля (теплопроводность, электричество, магнетизм, поле тяготения) направляют развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных. Разработка молекулярной теории и вообще статистической физики, начиная с конца прошлого века, служила важным стимулом развития теории вероятностей, особенно теории случайных процессов. Теория относительности сыграла решающую роль в развитии римановой геометрии с ее аналитическими методами и обобщениями.

В настоящее время развитие новых математических теорий, как функциональный анализ и др., стимулируется проблемами квантовой механики и электродинамики, задачами вычислительной техники, статистическими вопросами физики и техники и т. д. и т. п. Физика и техника не только ставят перед математикой новые задачи, наталкивают ее на новые предметы исследования, но также пробуждают развитие нужных для них разделов математики, которые складывались первоначально в большей мере внутри нее самой, как это было с римановой геометрией. Короче, для интенсивного развития науки нужно, чтобы она не только подошла к решению новых задач, но чтобы необходимость их решения навязывалась

потребностями развития общества. В математике в последнее время возникает много теорий, но только те из них получают развитие и прочно входят в науку, которые нашли свои применения в естествознании и технике либо сыграли роль важных обобщений тех теорий, которые имеют такие приложения. Вместе с тем другие теории остаются без движения, как, например, некоторые рафинированные геометрические теории (недезарговы, неархимедовы геометрии), не нашедшие существенных применений.

Истинность математических выводов находит свое последнее основание не в общих определениях и аксиомах, не в формальной строгости доказательств, а в реальных приложениях, т. е. в конечном счете в практике.

В целом, развитие математики нужно понимать прежде всего как результат взаимодействия логики ее предмета, отраженной во внутренней логике самой математики, влияния производства и связей с естествознанием. Это различие идет сложными путями борьбы противоположностей, включая существенные изменения в основном содержании и формах математики. По содержанию развитие математики определяется ее предметом, но побуждается оно в основном и в конечном счете потребностями производства. Такова основная закономерность развития математики.

Конечно, мы не должны забывать при этом, что речь идет лишь об основной закономерности и что связь математики с производством, вообще говоря, является сложной. Из того, что говорилось выше, ясно, что было бы наивным пытаться обосновать появление каждой данной математической теории непосредственным «производственным заказом». Более того, математика, как и всякая наука, обладает относительной самостоятельностью, своей внутренней логикой, отражающей, как мы это подчеркивали, объективную логику, т. е. закономерность ее предмета.

4. Математика всегда испытывала самое существенное влияние не только общественного производства, но и всех общественных условий в целом. Ее блестящий прогресс в эпоху возвышения древней Греции, успехи алгебры в Италии в эпоху Возрождения, развитие анализа в эпоху, последовавшую за английской революцией, успехи математики во Франции в период, примыкающий к Французской революции, - все это убедительно демонстрирует неразрывную связь прогресса математики с общим техническим, культурным, политическим прогрессом общества.

Это также ярко видно на примере развития математики в России. Становление самостоятельной русской математической школы, идущей от Лобачевского, Остроградского и Чебышева, нельзя отделить от прогресса русского общества в целом. Время Лобачевского - это время Пушкина,

Глинки, время декабристов, и расцвет математики был одним из элементов общего подъема.

Тем более убедительно влияние общественного развития в период после Великой Октябрьской социалистической революции, когда исследования фундаментального значения появлялись друг за другом с поразительной быстротой во многих направлениях: в теории множеств, топологии, теории чисел, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, алгебре, геометрии.

Наконец, математика всегда испытывала и испытывает на себе заметное влияние идеологии. Как и во всякой науке, объективное содержание математики воспринимается и толкуется математиками и философами в рамках той или иной идеологии.

Короче, объективное содержание науки всегда укладывается в те или иные идеологические формы; единство и борьба этих диалектических противоположностей - объективного содержания и идеологических форм - в математике, как и во всякой науке, играют далеко не последнюю роль в ее развитии.

Борьба материализма, отвечающего объективному содержанию науки, с идеализмом, противоречащим этому содержанию и извращающим его понимание, идет через всю историю математики. Эта борьба ясно обозначена уже в древней Греции, где против материализма Фалеса, Демокрита и других философов, создававших греческую математику, выступал идеализм Пифагора, Сократа и Платона. С развитием рабовладельческого строя верхушка общества отрывалась от участия в производстве, считая его уделом низшего класса, и это порождало отрыв «чистой» науки от практики. Достойной внимания истинного философа признавалась лишь чисто теоретическая геометрия. Характерно, что появившиеся исследования некоторых механических кривых и даже конических сечений Платон считал остающимися за пределами геометрии, так как они «не приводят нас в общение с вечными и бестелесными идеями» и «нуждаются в применении орудий пошлого ремесла».

Яркий пример борьбы материализма против идеализма в математике представляет деятельность Лобачевского, который выдвинул и отстаивал материалистическое понимание математики против идеалистических взглядов кантианства.

Для русской математической школы вообще характерна материалистическая традиция. Так, Чебышев явно подчеркивал решающее значение практики, а Ляпунов выразил стиль отечественной математической школы в следующих замечательных словах: «Детальная разработка вопросов, особенно важных сточки зрения приложения и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории». Обобщения и абстракции не сами по себе, а в связи с конкретным материалом

теоремы и теории не сами по себе, а в общей связи науки, ведущей в конечном счете к практике, - вот что оказывается на самом деле важным и перспективным.

Таковы же были устремления таких великих ученых, как Гаусс и Риман.

Однако с развитием капитализма в Европе материалистические взгляды, отражавшие передовую идеологию возвышающейся буржуазии эпохи XVI - начала XIX вв., стали сменяться идеалистическими воззрениями. Так, например, Кантор (1846-1918), создавая теорию бесконечных множеств, прямо ссылался на бога, высказываясь в том духе, что бесконечные множества имеют абсолютное существование в божественном разуме. Крупнейший французский математик конца XIX- начала XX в. Пуанкаре выдвинул идеалистическую концепцию «конвенционализма», согласно которой математика есть схема условных соглашений, принимаемых для удобства описания многообразия опыта. Так, по мнению Пуанкаре, аксиомы эвклидовой геометрии суть не более как условные соглашения и значение их определяется удобством и простотой, но не соответствием реальной действительности. Поэтому Пуанкаре говорил, что, например, в физике скорее откажутся от закона прямолинейного распространения света, чем от эвклидовой геометрии. Эта точка зрения была опровергнута развитием теории относительности, которая, вопреки всей «простоте» и «удобству» эвклидовой геометрии, в полном согласии с материалистическими идеями Лобачевского и Римана, привела к выводу, что реальная геометрия пространства отлична от эвклидовой.

На почве трудностей, возникших в теории множеств, и в связи с необходимостью анализа основных понятий математики, среди математиков в начале XX в. появились разные течения. Единство в понимании содержания математики было утрачено; разные математики стали по-разному рассматривать не только общие основы науки, что было и раньше, но даже по-разному стали оценивать смысл и значение отдельных конкретных результатов и доказательств. Выводы, казавшиеся осмысленными и содержательными для одних, другие объявляли лишенными смысла и значения. Возникли идеалистические течения «логицизма», «интуиционизма» «формализма» и др.

Логисты утверждают, что вся математика выводима из понятий логики. Интуиционисты видят источник математики в интуиции и придают смысл лишь интуитивно воспринимаемому. Поэтому они, в частности, вовсе отрицают значение канторовской теории бесконечных множеств. Более того, интуиционисты отрицают простой смысл даже таких утверждений

как теорема о том, что всякое алгебраическое уравнение степени имеет корней. Для них это утверждение пусто, пока не указан способ вычисления корней. Так, полное отрицание объективного смысла математики привело интуиционистов к опорочиванию, как «лишенной смысла», значительной части достижений математики. Наиболее крайние из них дошли до утверждения, что существует столько математик, сколько есть математиков.

Попытку по-своему спасти математику от такого рода нападок предпринял крупнейший математик начала нашего века - Д. Гильберт. Сущность его идеи сводилась к тому, чтобы свести математические теории к чисто формальным операциям над символами согласно предписанным правилам. Расчет состоял в том, что при таком совершенно формальном подходе все трудности будут сняты, ибо предметом математики окажутся символы и правила действия с ними без всякого отношения к их смыслу. Это и есть установка формализма в математике. По словам интуициониста Брауэра, для формалиста истина математики на бумаге, тогда как для интуициониста она в голове математика.

Нетрудно, впрочем, видеть, что оба они неправы, ибо математика, а вместе с тем и то, что написано на бумаге, и то, что думает математик, отражает действительность, и истина математики заключается в ее соответствии объективной действительности. Отрывая математику от материальной действительности, все эти течения оказываются идеалистическими.

Идея Гильберта потерпела поражение в результате ее собственного развития. Австрийский математик Гедель доказал, что даже арифметику нельзя формализовать полностью, как на то рассчитывал Гильберт. Вывод Геделя явно вскрыл внутреннюю диалектику математики, которая не позволяет исчерпать ни одну ее область формальным исчислением. Даже простейшая бесконечность натурального ряда чисел оказалась неисчерпываемой конечной схемой символов и правил действия с ними. Так, было математически доказано то, что высказал в общем виде еще Энгельс, когда писал:

«Бесконечность есть противоречие... Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности». Гильберт рассчитывал заключить математическую бесконечность в рамки конечных схем и тем самым ликвидировать все противоречия и трудности. Это оказалось невозможным.

Но в условиях капитализма конвенционализм, интуиционизм, формализм и другие подобные течения не только сохраняются, ной дополняются новыми вариантами идеалистических взглядов на математику. Теории, связанные с логическим анализом основ математики, существенно используются в некоторых новых вариантах субъективного идеализма. Субъективный

идеализм использует теперь математику, в частности математическую логику, не меньше, чем физику, и потому вопросы понимания основ математики приобретают особую остроту.

Так, трудности развития математики породили в условиях капитализма идеологический кризис этой науки, сходный в своих основах с кризисом физики, сущность которого была выяснена Лениным в его гениальном произведении «Материализм и эмпириокритицизм». Этот кризис вовсе не означает, что математика в капиталистических странах совершенно задержана в своем развитии. Ряд ученых, стоящих на явно идеалистических позициях, делает важные, порой выдающиеся успехи в решении конкретных математических вопросов и развитии новых теорий. Достаточно сослаться на блестящую разработку математической логики.

Коренной порок распространенного в капиталистических странах взгляда на математику состоит в его идеализме и метафизике: в отрыве математики от действительности и пренебрежении ее реальным развитием. Логистика, интуиционизм, формализм и другие подобные направления выделяют в математике какую-нибудь одну ее сторону - связь с логикой, интуитивную ясность, формальную строгость и т. п. - неосновательно преувеличивают, абсолютизируют ее значение, отрывают ее от действительности и за глубоким анализом этой одной черты математики самой по себе теряют из виду математику в целом. Именно вследствие этой односторонности ни одно из этих течений при всей тонкости и глубине отдельных выводов не может привести к верному пониманию математики. В противоположность различным течениям и оттенкам идеализма и метафизики диалектический материализм рассматривает математику, как и всю науку в целом, такой, как она есть, во всем богатстве и сложности ее связей и развития. И именно потому, что диалектический материализм стремится понять все богатство и всю сложность связей науки с действительностью, всю сложность ее развития, идущего от простого обобщения опыта к высшим абстракциям и от них к практике, именно потому, что самый свой подход к науке он постоянно приводит в соответствие с ее объективным содержанием, с ее новыми открытиями, именно поэтому и, в конечном счете только поэтому, он и оказывается единственной подлинно научной философией, ведущей к верному пониманию науки вообще и, в частности, - математики.

Порой кажется, что наш мир прост и понятен. На самом деле это великая загадка Вселенной, сотворившей такую совершенную планету. А может, её создал тот, кто наверняка знает, что делает? Над этим вопросом трудятся величайшие умы современности.

Они каждый раз приходят к выводу, что невозможно сотворить все то, что мы имеем, без Высшего разума. Какая необыкновенная, сложная и в то же время простая и непосредственная наша планета Земля! Окружающий мир удивителен своими правилами, формами, красками.

Законы природы

Первое, на что можно обратить внимание на нашей огромной и удивительной планете, - это Она обнаруживается во всех формах окружающего мира, а также является основным принципом красоты, идеальности и пропорциональности. Это не что иное, как математика в природе.

Понятие "симметрия" означает гармонию, правильность. Это свойство окружающей действительности, систематизирующее фрагменты и превращающее их в единое целое. Ещё в древней Греции начали впервые замечать признаки этого закона. Например, Платон считал, что красота появляется исключительно вследствие симметрии и соразмерности. В действительности, если посмотреть на предметы пропорциональные, правильные и завершённые, то наше внутреннее состояние будет прекрасным.

Законы математики в живой и неживой природе

Давайте взглянем на любое существо, например самое совершенное - человека. Мы увидим строение тела, которое с обеих сторон выглядит одинаково. Ещё можно перечислять множество образцов, таких как насекомые, животные, морские обитатели, птицы. Каждый вид имеет свой окрас.

Если присутствует какой-нибудь узор или рисунок, он, как известно, отражается зеркально относительно центровой линии. Все организмы созданы благодаря правилам мироздания. Такие математические закономерности прослеживаются и в неживой природе.

Если обращать внимание на все явления, такие как смерч, радуга, растения, снежинки, то можно обнаружить в них много общего. Относительно листок дерева делится пополам, и каждая часть будет отражением предыдущей.

Еще если взять в качестве примера смерч, который возвышается вертикально и имеет вид воронки, то его тоже можно условно разделить на две абсолютно одинаковые половинки. Можно встретить явление симметрии в смене дня и ночи, времён года. Законы окружающего мира - это математика в природе, которая имеет свою совершенную систему. На неё опирается вся концепция создания Вселенной.

Радуга

Мы нечасто задумываемся над явлениями природы. Пошёл снег или дождь, выглянуло солнышко или грянул гром - привычное состояние меняющейся погоды. Рассмотрим разноцветную дугу, которую обычно можно обнаружить после выпадения осадков. Радуга в небе - удивительное явление природы, сопровождающееся видимым только человеческому глазу спектром всех цветов. Это случается за счёт прохождения лучей солнца через уходящую тучу. Каждая дождинка служит призмой, которая обладает оптическими свойствами. Можно сказать, что любая капля является маленькой радугой.

Проходя через водную преграду, лучи меняют свой изначальный цвет. Всякий поток света имеет определённую длину и оттенок. Поэтому наш глаз воспринимает радугу именно такой разноцветной. Заметим интересный факт, что это явление может лицезреть исключительно только человек. Потому что это всего лишь иллюзия.

Виды радуги

1. Радуга, образовавшаяся от солнца, встречается наиболее часто. Она является самой яркой из всех разновидностей. Состоит из семи основных цветов: красного оранжевого, жёлтого, зелёного, голубого, синего, фиолетового. Но если разобрать в подробностях, оттенков намного больше, чем наш глаз может увидеть.
2. Радуга, созданная луной, встречается в тёмное время суток. Считается, что её можно лицезреть всегда. Но, как показывает практика, в основном такое явление наблюдается только в дождливых местностях или около больших водопадов. Цвета лунной радуги очень тусклые. Их суждено рассмотреть лишь с помощью специальной техники. Но даже с ней наш глаз способен разобрать только полоску белого цвета.
3. Радуга, появившаяся вследствие тумана, подобна широкой сияющей светлой арке. Иногда этот вид путают с предыдущим. Сверху цвет может быть оранжевым, снизу - иметь оттенок фиолетового. Солнечные лучи, проходя сквозь туман, образуют прекрасное явление природы.
4. в небе возникает крайне редко. Она не схожа с предыдущими видами своей горизонтальной формой. явление можно только над перистыми облаками. Они, как правило, простираются на высоте 8-10 километров. Угол, под которым радуга покажет себя во всей красе, должен быть более 58 градусов. Цвета обычно остаются такими же, как в солнечной радуге.

Золотая пропорция (1,618)

Идеальную соразмерность чаще всего можно встретить в мире животных. Они награждены такой пропорцией, которая равна корню от соответствия числа PHI к единице. Это соотношение является связующим фактом всех животных на планете. Великие умы древности называли это число божественной пропорцией. Её ещё можно назвать золотым сечением.

Этому правилу полностью соответствует гармоничность строения человека. Например, если определить расстояние между глазами и бровями, то оно будет равно божественной постоянной.

Золотое сечение - это пример того, сколь важна математика в природе, закону которой начали следовать дизайнеры, художники, архитекторы, создатели красивых и совершенных вещей. Они создают с помощью божественной постоянной свои творения, которые имеют сбалансированность, гармонию и на них приятно смотреть. Наш ум способен считать красивым те вещи, предметы, явления, где есть неравное соотношение частей. Пропорциональностью наш мозг называет именно золотое сечение.

Спираль ДНК

Как справедливо отметил немецкий учёный Гуго Вейль, корни симметрии пришли через математику. Многие отмечали совершенность геометрических фигур и обращали на них внимание. Например, пчелиные соты - это не что иное, как шестиугольник, сотворённый самой природой. Ещё можно обратить внимание на шишки ели, которые имеют цилиндрическую форму. Также в окружающем мире часто встречается спираль: рога крупного и мелкого скота, раковины моллюсков, молекулы ДНК.

Сотворена по принципу золотого сечения. Она является связующим звеном между схемой материального тела и её реальным образом. А если рассмотреть мозг, то он представляет собой не что иное, как проводник между телом и разумом. Интеллект связывает жизнь и форму её проявления и позволяет жизни, заключённой в форме, познавать саму себя. С помощью этого человечеству достижимо понять окружающую планету, искать в ней закономерности, которые затем применять к изучению внутреннего мира.

Деление в природе

Митоз клетки состоит из четырёх фаз:

• Профаза . В ней увеличивается ядро. Проявляются хромосомы, которые начинают закручиваться в спираль и превращаться в свой обыкновенный вид. Формируется место для деления клетки. В конце фазы растворяется ядро и его оболочка, и хромосомы вытекают в цитоплазму. Это самый продолжительный этап деления.
• Метафаза . Здесь заканчивается закручивание в спираль хромосом, они образуют метафазную пластинку. Хроматиды располагаются противоположно друг другу, готовясь к делению. Между ними появляется место для рассоединения - веретено. На этом второй этап заканчивается.

• Анафаза . Хроматиды расходятся в противоположные стороны. Теперь в клетке имеется два набора хромосом за счёт их деления. Этот этап очень короткий.
• Телофаза . В каждой половинке клетки образуется ядро, внутри которого формируется ядрышко. Активно рассоединяется цитоплазма. Веретено постепенно исчезает.

Значение митоза

За счёт уникального способа деления, каждая последующая после размножения клетка имеет такой же состав генов, как её материнская. Состав хромосом обе клетки получают одинаковый. Здесь не обошлось без такой науки, как геометрия. Прогрессия в митозе имеет важное значение, так как по этому принципу размножаются все клетки.

Откуда берутся мутации

Этот процесс служит гарантией постоянного набора хромосом и генетических материалов в каждой клетке. За счёт митоза происходит развитие организма, размножение, регенерация. В случае нарушения из-за действия каких-то ядов хромосомы могут не разойтись по своим половинкам, или в них, возможно, будут наблюдаться нарушения в строении. Это станет явным показателем начинающихся мутаций.

Подводя итоги

Что общего в математике и природе? На этот вопрос вы найдёте ответ в нашей статье. А если копнуть глубже, то нужно сказать, что с помощью изучения окружающего мира человек познаёт самого себя. Без породившего все живое, не могло бы ничего быть. Природа находится исключительно в гармонии, в строгой последовательности своих законов. А возможно ли все это без разума?

Приведём высказывание учёного, философа, математика и физика Анри Пуанкаре, который, как никто другой, сможет дать ответ на вопрос о том, действительно ли математика в природе является основополагающей. Некоторым материалистам могут не понравиться такие рассуждения, но навряд ли они смогли бы их опровергнуть. Пуанкаре говорит, что гармония, которую человеческий разум хочет открыть в природе, не может существовать вне его. которая присутствует в умах хотя бы нескольких индивидов, может быть доступна всему человечеству. Связь, которая собирает воедино мыслительную деятельность, и называется гармонией мира. В последнее время на пути к такому процессу есть колоссальные продвижения, но они очень малы. Эти звенья, связывающие Вселенную и индивида, должны быть ценны любым человеческим умом, который чувствителен к этим процессам.

Введение

Нам в школе часто повторяют, что математика – царица наук. Однажды я услышал другую фразу, которую когда-то произнес один из школьных учителей и любит повторять мой папа: «Природа не настолько глупа, чтобы не использовать законы математики». (Котельников Ф.М. бывший профессор математики кафедры МГУ). Именно это дало мне мысль изучить этот вопрос.

Эту мысль подтверждает следующее изречение: «Красота всегда относительна… Не следует… полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояния между звездами неодинаковы, еще не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении, на самом же деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, нив царстве растений и животных, ни среди людей». (Ричард Бентли, английский ученый 17-го века)

Но изучая математику, мы опираемся только на знание формул, теоремы, расчеты. И математика предстает перед нами как некая абстрактная наука, оперирующая цифрами. Однако, как оказывается, математика – красивая наука.

Именно поэтом я поставил перед собой следующую цель: показать красоту математики при помощи закономерностей, существующих в природе.

Чтобы достичь своей цели, она была разделена на ряд задач:

Изучить разнообразие математических закономерностей, используемых природой.

Дать описание этих закономерностей.

На собственном опыте попытаться найти математические соотношения в строении тела кошки (Как сказано в одном известном фильме: тренироваться на кошках).

Методы, используемые в работе: анализ литературы по теме, научный эксперимент.

1. 1. Поиск математических закономерностей в природе.

Математические закономерности можно искать как в живой, так и в неживой природе.

Кроме этого, необходимо определить, какие закономерности надо искать.

Так как в шестом классе изучено не так много закономерностей, мне пришлось изучить учебники старших классов. Кроме этого, мне надо было учесть, что очень часто природа использует геометрические закономерности. Поэтому помимо учебников алгебры, мне пришлось обратить свое внимание и на учебники геометрии.

Математические закономерности, найденные в природе:

1. Золотое сечение. Числа Фибоначчи (спираль Архимеда). А также другие виды спиралей.
2. Различные виды симметрии: центральная, осевая, поворотная. А также симметрия в живой и неживой природе.
3. Углы и геометрические фигуры.
4. Фракталы. Термин фрактал образовал от латинского fractus (ломать, разламывать), т.е. создавать фрагменты неправильной формы.
5. Арифметическая и геометрия прогрессии.

Рассмотрим более подробно выделенные закономерности но в несколько другой последовательности.

Первое, что бросается в глаза, это наличие симметрии в природе.В переводе с греческого это слово обозначает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировано относительно недавно – в 19 веке. В наиболее простой трактовке (по Г.Вейлю) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. .

В природе наиболее распространены два вида симметрии – «зеркальная» и «лучевая» («радиальная») симметрии. Однако помимо одного названия у этих видов симметрии есть и другие. Так зеркальная симметрия еще называется: осевая, билатеральная, симметрия листка. Лучевая симметрия еще носит название радиальной.

Осевая симметрия встречается в нашем мире больше всего. Дома, различные аппараты, автомобили (внешне), люди(!) всё симметрично, ну или почти. Люди симметричны тем, что у всех здоровых людей две руки, на каждой руке пять пальцев, если ладони сложить, то будет как бы зеркальное отражение.

Проверить симметричность очень просто. Достаточно взять зеркало, и приложить его примерно посередине объекта. Если та часть объекта, что находится на матовой, неотражающей стороне зеркала, соответствует отражению, то предмет симметричен.

Радиальная симметрия .Все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии.

Листья и цветы многих растений имеют радиальную симметрию. (рис. 1, приложения)

На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия (плоды киви, срез дерева). Радиальная симметрия характерна для малоподвижных и прикрепленных форм (кораллы, гидра, медузы, актинии). (рис. 2, приложения)

Поворотная симметрия . Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию – симметрию винтовой лестницы. Пример винтовой симметрии – расположение листьев на стебле многих растений. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. (рис. 3, приложения)

Симметрия встречается не только в живой природе. В неживой природе тоже находятся примеры симметрии. Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира. Симметрия внешней формы кристалла является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного взаимного расположения в пространстве атомов (молекул).

Очень красива симметрия снежинок.

Но надо сказать, что природа не терпит точной симметрии. Всегда есть хотя бы незначительные отклонения. Так, наши руки, ноги, глаза и уши не полностью идентичны друг другу, пусть и очень похожи.

Золотое сечение.

Золотое сечение в 6-ом классе сейчас не проходят. Но известно, что золотое сечение, или золотая пропорция – это соотношение меньшей части к большей, дающее одинаковый результат при делении всего отрезка на большую часть и деление большей части на меньшую. Формула: A/B=B/C

В основном соотношение 1/1,618. Золотая пропорция очень часто встречается в животном мире.

Человек, можно сказать, полностью «состоит» из золотой пропорции. К примеру расстояние между глазами(1,618) и между бровями(1) является золотым сечением. А расстояние от пупка до ступни и рост тоже будет золотой пропорцией. Все наше тело «усыпано» золотыми пропорциями. (рис. 5, приложения)

Углы и геометрические фигуры в природе тоже встречаются часто. Есть заметные углы, например они четко видны в семенах подсолнечника, в сотах, на крыльях насекомых, в листьях клена и т.д. Молекула воды имеет угол 104,7 0 С. Но есть и малозаметные углы. Например, В соцветии подсолнечника семена расположены под углом 137,5 градусов относительно центра.

Геометрические фигуры в живой и неживой природе также видели все, только мало обращали на них внимания. Как известно, радуга – это часть эллипса, центр которого находится ниже уровня земли. Форму эллипса имеют листочки растений, плоды слив. Хотя наверняка их можно рассчитать по какой-то более сложной формуле. Например, вот такой (рис. 6, приложения):

Ель, некоторые виды ракушек, различные шишки имеют форму конуса. Некоторые соцветия похожи то ли на пирамиду, то ли на октаэдр, то ли на тот же самый конус.

Самым известным природным шестиугольником являются соты (пчелиные, осиные, шмелиные и т.д.). В отличие от многих других форм, они имеют практически идеальную форму и отличаются только размерами ячеек. Но если обратить внимание, то заметно, что фасетчатые глаза насекомых тоже близки к этой форме.

Еловые шишки очень походи на небольшие цилиндры.

В неживой природе почти невозможно найти идеальные геометрические формы, но многие горы похожи на пирамиды с разным основанием, а песчаная коса напоминает эллипс.

И таких примеров множество.

Я уже рассмотрел золотое сечение. Теперь хочу обратить свое внимание на числа Фибоначчи и другие спирали , которые тесно связаны с золотой пропорцией.

Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда (рис. 2). Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. (рис.7 приложения)

"Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Как отмечалось выше, рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. В книге "Кривые линии в жизни" Т. Кук исследует различные виды спиралей, проявляющихся в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке – филлотаксис, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.

И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Гете называл спираль «кривой жизни».

Чешуйки сосновой шишки на ее поверхности расположены строго закономерно - по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом.

Однако вернемся к одной выбранной спирали – числам Фибоначчи. Это очень интересные числа. Число получается при сложении двух предыдущих. Вот начальные числа Фибоначчи по 144: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… И обратимся к наглядным примерам (слайд 14).

Фракталы были открыты не так давно. Понятие фрактальной геометрии появилось в 70-х годах 20 века. Сейчас фракталы активно вошли в нашу жизнь, и даже развивается такое направление как фрактальная графика. (рис.8, приложения)

В природе фракталы встречаются довольно часто. Однако это явление больше характерно для растений и неживой природы. Например, листья папоротника, зонтичные соцветия. В неживой природе – это разряды молний, узоры на окнах, налипание снега на ветки деревьев, элементы береговой линии и многое другое.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия в самом элементарном ее определении – это умножение предыдущего числа на коэффициент.

Эта прогрессия присутствует у одноклеточных организмов. К примеру любая клетка делится на две, эти две делятся на четыре и т.д. То есть это геометрическая прогрессия с коэффициентом 2. А простым языком – количество клеток с каждым делением возрастает в 2 раза.

У бактерий всё точно также. Деление, увеличение популяции вдвое.

Таким образом, я изучил математические закономерности, существующие в природе, и привел соответствующие примеры.

Необходимо отметить, что на данный момент математические законы в природе активно изучаются и даже существует наука, которая называется биосимметрикой. Она описывает намного более сложные закономерности, чем были рассмотрены в работе.

Проведение научного эксперимента.

Обоснование выбора:

В качестве подопытного животного кошка была выбрана по нескольким причинам:

У меня есть кошка дома;

У меня их дома четыре штуки, поэтому полученные данные должны быть более точные, чем при изучении одного животного.

Последовательность эксперимента:

Измерение тела кошки.

Запись полученных результатов;

Поиск математических закономерностей.

Выводы по полученным результатам.

Список того, что надо изучить на кошке:

• Симметрия;
• Золотая пропорция;
• Спирали;
• Углы;
• Фракталы;
• Геометрическая прогрессия.

Изучение симметрии на примере кошки показало, что кошка симметрична. Вид симметрии – осевая, т.е. она симметрична относительно оси. Как было изучено в теоретическом материале, для кошка, как для подвижного животного нехарактерна радиальная, центральная, а также поворотная симметрия.

Для изучения золотой пропорции я сделал замеры тела кошки, сфотографировал ее. Соотношение размера тела с хвостом и без хвоста, тела без хвоста к голове действительно подходят близко в значению золотой пропорции.

65/39=1,67

39/24=1,625

В данном случаенадо учитывать ошибку измерений, относительность длины шерсти. Но в любом случае полученные результаты близки к значению 1,618. (рис. 9, приложение).

Кошка упорно не хотела давать ее измерить, поэтому я постарался ее сфотографировать, составил шкалу золотой пропорции и наложил на фотографии кошек. Некоторые результаты получились очень интересными.

Например:

• высота сидячей кошки от пола до головы, и от головы до «подмышки»;
• «кистевой» и «локтевой суставы»;
• высота сидячей кошки к высоте головы;
• ширина морды к ширине переносицы;
• высота морды к высоте до глаз;
• ширина носа к ширине ноздри;

Спираль у кошки я нашел только одну – это когти. Похожую спираль называют эвольвентой.

В организме кошки можно найти различные геометрические фигуры, но я искал углы. Угловатыми у кошки оказались только уши и когти. Но когти, как я определил раньше – это спирали. Форма ушей больше напоминает пирамиду.

Поиск фракталов на теле кошки не дал результатов, так как у нее нет ничего похожего и делящегося на такие же мелкие детали. Все-таки фракталы больше характерны для растений, чем для животных, тем более млекопитающих.

Но, поразмышляв над данным вопросом, я пришел в выводу, что фракталы в теле кошки есть, но во внутреннем строении. Так как биологию млекопитающих я еще не изучал, я обратился к Интернету и нашел такие рисунки (рис.10, приложения):

Благодаря им я убедился, что кровеносная и дыхательная система кошки ветвятся по закону фракталов.

Геометрическая прогрессия характерна для процесса размножения, но никак не для тела. Арифметическая прогрессия для кошек не характерна, так как кошка рожает определенное количество котят. Геометрическую прогрессию в размножении кошек, наверное, можно найти, но скорее всего там будут какие-то сложные коэффициенты. Объясню свои размышления.

Кошка начинает рожать котят в возрасте от 9 месяцев до 2 лет (все зависит от самой кошки). Период вынашивания – 64 дня. Кошка выкармливает котят около 3 месяцев, поэтому в среднем у нее будет 4 помета в год. Количество котят от 3 до 7. Как вы видите определенные закономерности можно уловить, но это не является геометрической прогрессией. Слишком размытые параметры.

Я получил такие результаты:

В теле кошки присутствуют: осевая симметрия, золотая пропорция, спирали (когти), геометрические формы (пирамидальные уши).

Во внешнем виде отсутствуют фракталы и геометрическая прогрессия.

Внутренне строение кошки относится больше к сфере биологии, но надо отметить, что строение легких и кровеносной системы (как и других животных) подчиняется логике фракталов.

Заключение

В своей работе я исследовал литературу по теме и изучил основные теоретические вопросы. На конкретном примере доказал, что в природе очень многое, если не все подчиняется математическим законам.

Изучив материал, я понял, чтобы понять природу надо знать не только математику, надо изучать алгебру, геометрию и их разделы: стереометрию, тригонометрию и т.д.

На примере домашней кошки я исследовал исполнение математических законов. В результате я получил, что в теле кошки присутствует осевая симметрия, золотая пропорция, спирали, геометрические формы, фракталы (во внутреннем строении). Но при этом не сумел найти геометрическую прогрессию, хотя явно прослеживались некие закономерности в размножении кошек.

И теперь я согласен с фразой:«Природа не настолько глупа, чтобы не подчинить всё законам математики».

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №16

Научно-практическая конференция «Старт в науку»

«Математические закономерности в календаре»

Выполнил:

Лаптев Александр

У ченик 8А класса

МБОУ СОШ №16

Руководитель:

Учитель математики

МБОУ СОШ № 16

Малянова И.А.

г. Кузнецк

2016 год

АКТУАЛЬНОСТЬ ……………………………………………..…………..………. 3

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В КАЛЕНДАРЕ

Исследование «Четырехугольники в календаре»

Исследование «Треугольники в календаре

Исследование «Пятница 13-е»

Занимательные закономерности в календаре

ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

Математические фокусы и календаре

Интересные факты о календаре

Математические олимпиадные задачи

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

.

Актуальность

В наше время нет человека, который не знал бы, что такое календарь. К его услугам мы прибегаем ежедневно. Мы настолько привыкли пользоваться календарем, что даже не можем себе представить современное общество без упорядоченного счета времени

Меня с детства интересовали эти цветные карточки с нанесенными на них такими

знакомыми и таинственными датами. Особый интерес к настенному календарю у меня появился после задачи, которую нам предложил учитель на уроке геометрии, при изучении темы «Прямоугольные треугольники»: «Если соединить числа 10,20, и 30 января 2006 года, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Докажите это. Задача про календарь и треугольники оказалась нестандартной задачей на признаки равенства треугольников и вызвала у большинства учащихся интерес и много вопросов. По совету учителя я продолжил исследование задачи и постарался ответить на возникшие вопросы. Результатом моего исследования стала работа «Математические закономерности в календаре».

Вопросы, на которые мне бы хотелось получить ответ:

Получится ли равнобедренный прямоугольный треугольник, если соединить числа 10,20, и 30 января в любом году?

Каков будет результат, если будем соединять числа 10, 20 и 30 любого месяца одного года?

Получится ли равнобедренный прямоугольный треугольник, если соединим другие числа в любом месяце?

Определение предмета исследования

Исследовав задачу про календарь и треугольники, я задался вопросом: есть ли ещё в математической литературе задачи по теме «Календари»? Из Интернет-ресурсов узнал об истории календаря, видах календарей, но нам нужны были только задачи по данной теме Оказалось, что такие задачи встречаются часто на олимпиадах различных уровней.

Решение задач, связанных с календарем, столкнуло меня с проблемой: мало знаний по данному вопросу. Чтобы решать подобные задачи, надо знать некоторые особенности календаря. Поэтому, предметом исследования стали табель–календари различных лет.

Формулировка проблемы

1. Можно ли использовать настенный календарь на уроках математики? Для этого надо выяснить есть ли ещё в математической литературе задачи по теме «календари», которые можно предлагать на уроках, олимпиадах и различных математических турнирах.

2. Какими особенностями обладают табель–календари?

3 Выдвижение гипотезы

Гипотеза исследования связана с предположением, что, изучив особенности табель–календарей, можно исследовать немало задач по теме «Календари», которые украсят уроки математики, и их можно применять и во внеклассной работе: олимпиадах, турнирах, конкурсах, марафонах и т.д.

Методы исследования.

Для достижения желаемого результата были использованы различные методы:

Поисковый

аналитический

практический, проектный

количественно-качественный анализ.

Проверка гипотезы.

Данный раздел состоит из двух частей. В первой части – исследование задач: про календарь и треугольники и квадраты в календаре. Во второй части выявили особенности календарей, знания которых позволяют решать подобранные нами задачи по теме «Календари».

Почему в неделе 7 дней?

Вы никогда не задумывались, почему в неделе семь дней? Не пять, не девять, а именно семь? По-видимому, обычай измерять время семидневной неделей пришёл к нам из Древнего Вавилона и связан с изменениями фаз Луны. Люди видели Луну на небе около 28 суток: семь дней – увеличение до первой четверти, примерно столько же – до полнолуния и т.д.

Счёт был начат с субботы, первым её часом «управлял» Сатурн (следующие часы – в обратном порядке планет). В итоге первым часом воскресенья управляло Солнце, первым часом третьего дня (понедельника) – Луна, четвёртого – Марс, пятого – Меркурий, шестого – Юпитер, седьмого (пятницы) – Венера. Соответственно, такие названия и получили дни недели.

Решение о праздновании воскресенья принял ещё римский император Константин в 321 г.

Возможно, неделя, состоящая из семи дней – это оптимальное сочетание труда и отдыха, напряжения и праздности. Как бы то ни было, жить нам всё равно приходится по тому или иному, но распорядку.

Почему дата Пасхи меняется каждый год.

Если вы заметили, праздник Пасхи не закреплён за каким-то определённым числом, как все остальные праздники. Каждый год Пасха выпадает на разные числа, а иной раз - и на разные месяцы. Есть разные способы нахождения даты Пасхи.

Немецкий математик Гаусс в XVIII веке предложил формулу для определения дня Пасхи по григорианскому календарю математическим способом.

2016:19 = 106 (ост. 2 – а ) 2016:19 = 106 (ост. 2 – а )

2016: 4 = 504 (ост. 0 – б )

2016: 7 = 288 (ост. 0 – в )

(19 ∙ 2 + 15) : 30 = 1 (ост. 23 – г )

(2б +4в + 6г + 6) : 7 = 20 (ост. 4 – д )

23 + 4 > 9 пасха в апреле

математические закономерности в календаре

«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ В КАЛЕНДАРЕ»

Таинственные квадраты в календарях.

Заметим, что в любом месяце можно выделить квадраты, состоящие из четырех чисел (2х2), из девяти чисел (3х3) и из шестнадцати чисел (4х4).

Какими свойствами обладают такие квадраты?

Складывая числа, получим 9 m +72=9(m +8). Значит, сумму чисел таких квадратов можно находить, если к меньшему числу прибавить 8 и сумму умножить на 9.

(8+8)×9=144

Или, пусть m -наибольшее число, тогда

Сложим, 9 m – 72=9(m – 8).

Значит, сумму чисел обведенного квадрата 3×3 можно найти, если из большего числа вычесть 8 и разность умножить на 9.

(24– 8) ×9=144

Получим, 16Р-192=16(Р-12). Значит, сумму чисел в любом квадрате из 16-ти чисел можно находить по правилу: Из большего числа вычитаем 12 и умножаем на 16.

(30-12)∙16=288 или к меньшему числу прибавить 12 и умножить на 16. (6+12) ∙16=288

Чтобы найти сумму 16-ти чисел достаточно умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположенных концах любой диагонали, обведенного квадрата на 8.

Выведенные свойства квадратов в настенных календарях можно применять на уроках математики при изучении темы «Сложение натуральных чисел», на устном счете и во внеклассной работе, показывая фокусы.

«ТРЕУГОЛЬНИКИ В КАЛЕНДАРЕ»

Если соединить числа 10, 20, 30 в январе 2016г, то получим равнобедренный прямоугольный треугольник.

Очевидно, что у треугольника 10 – 31 – 30 угол 31 прямой, и, аналогично, является прямым угол 27 у треугольника 30 – 27 – 20. Ясно, что стороны 31 - 30 и 30 – 27 равны; аналогично равны стороны 31 – 10 и 27 – 30. Поэтому треугольники 31 – 30 – 10 и 27 – 20 – 30 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, отрезки 10 – 30 и 20 – 30 равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180˚, получаем, что сумма острых углов в треугольнике 9 – 10 – 30 равна 180˚–90˚=90˚.

Следовательно, сумма углов, дополняющих угол 30 до развернутого угла, равна сумме острых углов треугольника 31 – 10 – 30. Значит, угол 10 тоже равен 90˚. Итак, треугольник 10 – 20 – 30 является равнобедренным прямоугольным.

Числа 10, 20, 30 отстоят друг от друга на 10 единиц. При их соединении получим равнобедренный прямоугольный треугольник. Аналогично, прямоугольный треугольник получится если соединить другие числа, отстоящие друг от друга на 10 единиц. Например, соединим числа 1, 11, 21; 2, 12, 22; 3, 13, 23; 4, 14, 24; 5, 15, 25; 6, 16, 26; 7, 17, 27; 8, 18, 28; 9, 19, 29; 11, 21, 31.

Если в календаре любого года соединить числа 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник.

Расположение чисел 10, 20 и 30 в январе будет зависеть от того, каким днем недели будет 1 января.

Вывод. Календари обладают следующей особенностью: если в календаре любого года соединить числа соответствующие 10, 20 и 30 января, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник, за исключением случаев, где центры клеток с числами 10, 20 и 30 лежат на одной прямой.

ИССЛЕДОВАНИЕ «ПЯТНИЦЫ 13

Пятница 13-го числа любого месяца – распространенная примета, по которой в такой день следует быть особенно готовым к неприятностям и остерегаться неудач.

Цель исследования: выяснить, какое максимальное (минимальное) число пятниц в одном году может попадать на число 13.

Год

Пятница 13

2007, не високосный

понедельник

Апрель, июль

1996, високосный

Сентябрь, декабрь

2013, не високосный

вторник

Сентябрь, декабрь

2008, високосный

Июнь

2014, не високосный

среда

Июнь

1992, високосный

Март, ноябрь

2015, не високосный

четверг

Февраль, март, ноябрь

2004, високосный

Февраль, август

2010, не високосный

пятница

Август

2016, високосный

Май

2011, не високосный

суббота

Май

2000, високосный

Октябрь

2006, не високосный

воскресенье

Январь, октябрь

2012, високосный

Январь, апрель, июль

Выводы:

Какой бы ни был год (високосный или не високосный) не может быть года, в котором 13 – е число хотя бы один раз не пришлось на пятницу.

Минимальное число пятниц, приходящихся на 13 число – одна. В не високосный год пятница 13-е может быть только: в мае, или в июне, или в августе. В високосном году пятница 13-е может быть только: в мае, или июне, или октябре.

Максимальное число пятниц приходящихся на 13 число три. В не високосный год (год начинается с четверга) пятница 13-е выпадает: на февраль, март и ноябрь. В високосном году (год начинается с воскресенья) пятница 13-е выпадает на: январь, апрель и июль.

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В КАЛЕНДАРЕ

Любой не високосный год начинается и заканчивается одним и тем же днем недели (2013 год начался со вторника и вторником закончился). Високосный год заканчивается со сдвигом на 1 день недели (2012 год начался с воскресенья, а закончился понедельником).

В високосный год на один и тот же день недели в году приходятся:

Если в некотором году 1 января – понедельник, а 1 октября – вторник, то год будет високосный.

Все месяцы как високосного, так и не високосного года, можно разделить на 7 групп по признаку, на какой день недели приходится 1 число месяца.

1 группа: январь и октябрь;

2 группа: февраль, март и ноябрь;

3 группа: апрель и июль;

4 группа: май;

5 группа: июнь;

6 группа: август;

7 группа: декабрь и сентябрь.

В году будет больше тех дней недели, с которых они начинаются. Так, 2009 год – не високосный, начался и закончился четвергом, значит, четвергов в году будет 53, а остальных дней недели 52.

Четные (нечетные) недели месяца повторяются через 2 недели, если первая четная среда 2 числа, то следующие четные приходятся на 16, 28.

Чтобы это сделать, вам нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9.

Вечные календари в основном представляют собой таблицы.

Календарь с 1901 по 2096 год

Алгоритм: для того, чтобы узнать день недели конкретного дня, требуется:

Найти в первой , соответствующую указанному году и месяцу;

Сложить эту цифру с номером дня;

Найти во второй таблице получившееся число и посмотреть, какому дню недели оно соответствует.

Пример: требуется определить, каким днём недели было .

Цифра, соответствующая (ф ) 2007 в таблице 1, равна 3 .

22+3=25 .

Числу 25 в таблице 2 соответствует четверг - это и есть искомый день недели.

РАЗДЕЛ II. ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ

3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОКУСЫ И КАЛЕНДАРЬ

На принципе закономерностей, полученных в ходе исследования календаря, строятся несколько фокусов «быстрых вычислений».

1. Фокус-предсказание. В этом фокусе фокусник может показать свой дар прорицания и умеет производить в уме быстрое сложение нескольких чисел. Попросите зрителя обвести на настольном календаре в любом месяце любой квадрат из 16 чисел. Бегло взглянув на него, вы записываете на листке предсказание, кладете его в конверт и отдаете на хранение зрителю. Затем просите зрителя выбрать любое число в этом календаре, обвести его кружком и вычеркнуть все числа, находящиеся в той же строчке и том же столбце, что и только что обведенное число. В качестве второго числа зритель может обвести кружком любое число, оставшееся незачеркнутым. После этого он должен вычеркнуть третье число, а соответствующие строчка и столбец вычеркиваются.

В финале вы эффективно предлагаете достать из конверта листок и убедиться, что на нем заранее вами была написана именно эта сумма чисел.

Чтобы это сделать, вам нужно было сложить два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата и найденную сумму удвоить.

2. Фокус с нахождением суммы. В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого попросите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Бегло взглянув на него и производя в уме необходимые вычисления, называете сумму всех чисел, попавших в этот квадрат.

Чтобы это сделать, вам нужно было умножить сумму двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на 8.

ИНТЕРЕСНЫЕ ФАКТЫ О КАЛЕНДАРЕ

1. На сегодняшний день невозможно точно сказать, сколько всего существовало календарей. Вот максимально полный их список: Армелина, Армянский, Ассирийский, Ацтекский, Бахаи, Бенгальский, Буддийский, Вавилонский, Византийский, Вьетнамский, Гильбурда, Голоценский, Григорианский, Грузинский, Древнегреческий, Древнеегипетский, Древнеиндийский, Древнекитайский, Древнеперсидский, Древнеславянский, Еврейский, Зороастрийский, Индийский, Инки, Иранский, Ирландский, Исламский, Китайский, Конта, Коптский, Малайский, Майя, Непальский, Новоюлианский, Римский, Симметричный, Советский, Тамильский, Тайский, Тибетский, Туркменский, Французский, Ханаанейский, Чучхе, Шумерский, Эфиопский, Юлианский, Яванский, Японский.

2. Коллекционирование карманных календарей называется или календаристикой.

3. За все время существования календаря время от времени появлялись очень оригинальные и необычные календари. Например, календарь в стихах. Первый из них был выпущен на одном листе, в виде настенного плаката. Календарь «Хронология» был составлен Андреем Рымшей и отпечатан в городе Остроге Иваном Федоровым 5 мая 1581 года.

4. Самый первый календарь в виде миниатюрной книги вышел из печати в канун 1761 года. Это «Придворный календарь», который до сих пор можно увидеть в Государственной публичной библиотеке имени М. Е. Салтыкова-Щедрина в Санкт-Петербурге.

5. Первые русские отрывные календари появились в конце XIX века. Их начал печатать издатель И. Д. Сытин по совету, который дал ему никто иной, как… Лев Николаевич Толстой.

6. Первый карманный календарь (размером примерно с игральную карту), с иллюстрацией на одной стороне и самим календарем – на другой впервые был выпущен в России в 1885 году. Он был отпечатан в типографии «Товарищества И. Н. Кушнаерева и К°». Эта типография существует до сих пор, только называется она теперь «Красный пролетарий».

7. Самый маленький календарь в истории весит всего 19 грамм вместе с переплётом. Он хранится в Матенадаране (Армянский институт древних рукописей) и представляет собой рукопись размером менее спичечного коробка. Он содержит 104 пергаментных листка. Он написан каллиграфическим почерком писца Огсента и доступен для чтения только с помощью увеличительного стекла.

не только книг, но и календарей. Здесь собрано около 40 тысяч наименований календарей всех разновидностей.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Может ли быть в одном месяце быть 5 понедельников и 5 четвергов? Обоснуйте ответ.

Если в месяце 31 день, и он начинается с понедельника, то в нём может быть 5 понедельников, 5 вторников и 5 сред, но остальных дней недели по четыре, так как 5+5+5+4+4+4+4=31. Ответ: не может.

2. Может ли в феврале високосного года быть 5 понедельников и 5 вторников? Ответ обоснуйте.

Только в феврале високосного года может быть 5 понедельников и по 4 остальных дней недели, т.е. в сумме – 29 дней . Ответ: не может.

3. В феврале 2004 года 5 воскресений, а всего – 29 дней. На какой день недели приходится 23 февраля 2004 года?

Если в феврале 29 дней и 5 воскресений, то первое воскресение будет 1 февраля. Отсюда 23 февраля – понедельник.

4. В некотором месяце три пятницы пришлись на чётные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

Три пятницы, выпадающие на чётные числа месяца, могут быть только 2, 16 и 30 числа. 15 числа был четверг.

5. Известно. Что 1 декабря приходится на среду. На какой день недели приходится 1 января следующего года?

Среда 1, 8, 15, 22, и 29 декабря, четверг 30, пятница 31. Ответ: суббота 1 января следующего года.

6. В некотором месяце три воскресенья пришлись на чётные числа. Какой день недели был 20 числа этого месяца?

Четные воскресенья 2, 16, 28. Значит 20 число этого месяца – четверг.

7. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

53 воскресенья.

8. Какое самое большое число месяцев с пятью воскресениями может быть в году?

5 месяцев. Обычный год при этом должен начинаться с воскресенья, а високосный – с субботы или воскресенья.

9. В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Какое это могло быть число?

31-е число и только одно. Например, в 2007 году ни одно воскресенье не было 31 числом.

10. В некотором месяце три субботы пришлись на четные числа. Какой день недели был 28-го числа этого месяца?

Пусть первая «четная» суббота пришлась на число, которое обозначим через х (х – четное число). Следующая четная суббота будет через две недели, т.е. (х+14) –го числа, а третья «четная» суббота – (х+28) –го числа. Но в месяце не более 31 дня, следовательно, х+28≤ 31. У этого неравенства одно еётное решение х=2. Тогда третья «четная» суббота была 30-го числа, а 28-го был четверг.

11. В некотором месяце три пятницы пришлись на четные числа. Какой день недели был 15 числа этого месяца?

12. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 20 числа этого месяца?

13. Докажите, что первый и последний день 2010 года – это один и тот же день недели.

2010 год не високосный 2. Обычный год содержит 365=52х7+1 дней, т.е. 52 полных недели плюс один день. Поэтому любой обычный год начинается и заканчивается на один и тот же день недели. Для 2010 года это будет пятница.

.

14 Владелец одной фирмы придумал интересную систему отпусков для сотрудников: сотрудники фирмы уходят в отпуск на целый месяц, если этот месяц начинается и кончается одним днём недели. Кому это выгодно? Сколько месяцев сотрудники будут отдыхать с 1 января 2005 года по 31 декабря 2015 года?

Для этого в месяце должно быть 29 дней. Это возможно только в феврале високосного года. В названный промежуток попадают только два года: 2008 и 2012. Так что сотрудникам придется отдыхать всего два месяца за эти годы.

В ходе работы я пришел к следующим результатам:

Доказал, что если соединить в табель – календаре в любом месяце любого года числа 10-20-30, то получится равнобедренный треугольник;

Показал, что в календаре можно выделять квадраты чисел 2×2; 3×3; 4×4, и вывели правила подсчета чисел в этих квадратах.

Выяснил некоторые особенности календаря, которые применяем для решения задач по теме «Календарь»;

Решил и исследовал задачи, которые можно предлагать на уроках математики и во внеклассной работе;

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Выводы: на основании полученных результатов, я доказал, что настенный календарь можно использовать на уроках математики и во внеклассной работе.

Считаю, что значимость нашей работы велика. Материалы исследования можно применять как нестандартные задачи на уроках геометрии в теме «Прямоугольные треугольники»;математики в теме «Сложение натуральных чисел», и во время проведения устных вычислений. А также во внеклассной работе: показывая фокусы с настенным календарем. Для себя я открыл много нового, интересного. Научился ставить перед собой цель, планировать свои действия, находить информацию из разных источников, в том числе сети Интернет, работать с научно-популярной литературой, выбирать из большого количества информации нужную, выполнять результаты исследования (рисунки) на компьютере.

Литература

Гаврилова Т.Д. Занимательная математика в 5 – 11 классах.

Задачи международного математического конкурса «Кенгуру.

Иченская М.А. Отдыхаем с математикой..

Полный энциклопедический справочник школьника.

Лепёхин Ю.В. Олимпиадные задания по математике 5 – 6 классы.

Эффективный современный веб-дизайн не должен быть просто симпатичной и яркой картинкой. Он должен быть простым и интуитивно понятным. Какими же средствами этого добиться? Как сделать так, чтобы у посетителя возникло чувство гармонии и комфорта? И тут в помощь нам придет математика. А пока давайте посмотрим, как действуют некоторые основные правила математики в веб-дизайне. Мы рассмотрим это на примере правила Золотого сечения, чисел Фибоначчи, правила Пяти элементов, колебания Синусоиды и правила Третей.

Математика — это прекрасно. Для человека, далекого от цифр и уравнений, это может звучать абсурдно. Однако, множество самых красивых вещей в природе, да и сама Вселенная основаны на строгих математических пропорциях. Еще Аристотель, один из самых авторитетных философов древности, говорил: «Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это — важнейшие виды прекрасного».

На протяжении веков математика использовалась и в искусстве, и в архитектуре. Но математика редко применяется в дизайне веб-сайтов. Наверное, потому, что есть расхожее мнение, что математика и креатив — вещи несовместимые. Хотя это мнение можно опровергнуть, математика является хорошим инструментом при создании сайтов. Однако, в этом деле на одну лишь математику полагаться не стоит. Здесь нужно еще что-то.

1. Золотое сечение или Золотой прямоугольник
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Отношение частей в этой пропорции выражается иррациональной математической константой, равной приблизительно 1.618033987.

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Вот интересный факт из Википедии . Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей.

В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения.

Теперь перейдем к Золотому прямоугольнику. Тут все просто. У такого прямоугольника длины прилегающих сторон соотносятся по правилу золотого сечения, т.е. 1:1.618.

Для того, чтобы построить золотой прямоугольник сначала рисуем квадрат (красный цвет на картинке), потом проводим линию от середины одной из сторон квадрата к противоположному углу (линия со стрелкой на рисунке). Используем эту линию в качестве радиуса дуги, которая определит высоту прямоугольника. Теперь дорисовываем прямоугольник (синий цвет на рисунке).

Рассмотрим в качестве наглядного примера этот минималистический дизайн, представленный ниже. Он состоит из 6 золотых прямоугольников, размером 299х185 пикселей, по 3 прямоугольника в ряд. Стороны этим прямоугольников соотносятся по правилу золотого сечения 299/185=1,616.

Обратите внимание на большое количества пространства вокруг золотого прямоугольника. Оно создает спокойную и приятную атмосферу, в которой элементы навигации могут спокойно дышать. Несмотря на использование всего нескольких цветов и однотипных блоков, все элементы навигации интуитивно понятны и служат своей цели.

Для того, чтобы добавить новый блок не нарушая при этом логику конструкции, целесообразнее всего добавлять блоки третьей строкой и двигаться подобным образом вниз.

Области применения. Использование Золотых прямоугольников в дизайне хорошо подходит для различных фото галерей, сайтов портфолио и сайтов, ориентированных на представление продуктов.

2. Числа Фибоначчи в дизайне
Числа Фибоначчи — это математическая последовательность из ряда чисел. По определению, два первых числа Фибоначчи равны 0 и 1. Каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Ряд чисел выглядит следующим образом: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Числа Фибоначчи используют в музыке для настройки инструментов, в архитектуре для вычисления гармоничных пропорций, например соотношение высоты помещения к высоте декорирования стен различными материалами. Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.

Основная область применения чисел Фибоначчи в дизайне — определение размеров блоков с основным контентом (контейнеров) и боковой панели. Суть метода в следующем. Берется базовая ширина контейнера, например, 90 пикселей, и последовательно умножается на числа из ряда Фибоначчи. На основании этих вычислений строится сетка сайта. Посмотрим на примере.

Страница разделена на три колонки. Базовая ширина контейнера 90 пикселей. Тогда первая колонка имеет ширну 180 пикселей (90 х 2), вторая колонка имеет ширину 270 пикселей (90 х 3) и третья колонка имеет ширину 720 пикселей (90 х 8). Размер шрифта также соответствут ряду Фибоначчи. Размер шрифта в заголовке 55 пикселей, шрифт в разделе — 34 пикчеля и шрифт для текста 21 пиксель.

Если сайт имеет фиксированную ширину, например 1000 пикселей, то числа Фибоначчи не очень удобно использовать. Постольку ближайшее к 1000 число из ряда Фибоначчи это 987 (…, 610, 987, 1597 …), то именно с этого числа придется проводить вычисления для ширины блоков сайта. В таких ситуациях лучше всего воспользоваться правилом Золотого сечения (1000 х 0,618 = 618px) и исходя из него определить ширину блоков.

Области применения. Числа Фибоначчи лучше всего подходят для дизайна блогов и журнальных макетов.

3. Пять элементов или Kundli дизайн
Еще один интересный пример математики в дизайне — это техника, основанная на правилах составления индийского гороскопа Kundli. Здесь основой является следующая фигура. Рисуется квадрат, внутри него проводятся две диагонали, соединяющие противоположные углы, потом линиями соединяются центры соседних сторон квадрата.

Внутри квадрата мы видим четыре ромба. Это и есть основа для расположения пяти элементов дизайна на странице.

Приведенный ниже пример дизайна сайта базируется на геометрии Kundli. Этот макет может подойти для одностраничного сайта-визитки с элементами интерактивного дизайна на основе jQuery технологии.

Также этот макет может легко превратиться в сайт с трехколоночной версткой хедером и футером.

Области применения. Эта конструкция более всего подходит для сайтов портфолио и сайтов, ориентированных на демонстрацию продукции.

4. Колебания синусоиды
Если хочется разнообразия, то совсем не обязательно придерживаться базовых правил золотого сечения и чисел Фибоначчи. Можно поэкспериментировать и с другими общеизвестными формулами.

Давайте посмотрим каким получится макет сайта, основанный на колебаниях синусоиды, математической функции, описывающей повторяющиеся колебания. На картинке ниже представлен пример простого и оригинального одностраничного сайта.

Или еще один вариант. Макет, состоящий из хедера, пяти колонок и футера. Такой сайт также можно усилить JQuery подсказками, чтобы сделать его более интерактивным.

Области применения. Эта конструкция оптимальна для сайтов, где требуется отражать хронологию событий. Более всего подходит для горизонтальной навигации.

5. Правило Третей
Это правило гласит, что изображение должно быть разделено на девять равных частей двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями. А все важные композиционные элементы должны быть расположены вдоль этих линий или на их пересечениях.

В данном примере на двух из четырех пересечений собрана самая важная информация. Отмечено розовыми квадратами. А навигационный блок расположен как раз вдоль второй горизонтальной линии.